Diferensial Total, Parsial Eksak dan Tak Eksak

Perhatikan fungsi x = x (y, z)
. Andaikan fungsi ini benar-benar ada, artinya “x is an
existing function of y and z”, maka nilai x dapat berubah karena y berubah tetapi z tidak, atau z berubah tetapi y tidak, atau y dan z keduanya berubah. Perubahan-perubahan ini secara matematis dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial total, diferensial parsial, diferensial eksak, dan atau diferensial tak eksak.
Diferensial total dari x adalah dx yang nilainya sama dengan perubahan x karena y berubah ditambah dengan perubahan x karena z berubah. 

Secara matematis dapat dinyatakan:
dx = (∂x / ∂y) z dy + (∂x / ∂z) y dz ……….. (1.3) 

Diferensial total x adalah dx yang menggambarkan perubahan total x. Karena dx merupakan perubahan infinit suatu fungsi yang benar-benar ada, maka dx disebut diferensial eksak. Jika dx merupakan diferensial total dari fungsi x = x (y, z) yang benar-benar tidak ada, maka dx disebut diferensial tak eksak. Dalam hal ini (∂x / ∂y) z dy merupakan perubahan x karena y berubah, sedangkan z tidak berubah dan (∂x / ∂z) y dz merupakan perubahan x karena z berubah, sedangkan y tidak berubah. Sedangkan (∂x / ∂y) z dinamai diferensial parsial x ke y dengan z tetap yang biasa ditulis sebagai M (yz) dan (∂x / ∂z)y dinamai diferensial parsial x ke z dengan y tetap yang biasa ditulis sebagai N (yz). Dalam persamaan I.3 dy disebut sebagai perubahan y dan dz disebut sebagai perubahan z.

Syarat Euler dan Dalil Rantai Telah dijelaskan di atas, bahwa ada fungsi yang benar-benar ada (existing) dan ada fungsi yang benar-benar tidak ada. Jika fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benar-benar ada dan dapat didiferensialkan dengan baik (differensiable), maka urutan pendiferensialan (diferensiasi) tidak menjadi masalah. Artinya,
(∂ 2 x / ∂y ∂z) z, y = (∂ 2 x / ∂z ∂y) y, z
atau
(∂M / ∂z) y = (∂N / ∂y) z . …….. (1.4) 

Persamaan I.4 dikenal sebagai syarat Euler. 

Jadi, syarat Euler merupakan syarat yang diperlukan untuk membuktikan bahwa fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benarbenar ada. Dapat pula dinyatakan, diferensial total suatu fungsi yang benar-benar ada (yang memenuhi syarat Euler) adalah diferensial eksak. Jika fungsi x = x (y, z), maka  

dx = (∂x / ∂y) z dy + (∂x / ∂z) y dz. 

Fungsi ini dapat dilihat sebagai fungsi y = y (x, z) dengan 

dy = (∂y / ∂x) z dx + (∂y / ∂z) x dz. 

Jika dy disubstitusikan ke dx di atas diperoleh:
dx = (∂x / ∂y) z {(∂y / ∂x) z dx + (∂y / ∂z) x dz} + (∂x / ∂z) y dz atau
dx = {(∂x / ∂y) z (∂y / ∂x) z } dx + {(∂x / ∂y) z (∂y / ∂z) x + (∂x / ∂z) y } dz yang berlaku untuk setiap dx dan dz. 

Hal ini terpenuhi jika 1. {(∂x / ∂y) z (∂y / ∂x) z } = 1 atau (∂x / ∂y) z = {1 / (∂y / ∂x) z } ….. (1.5) 2. {(∂x / ∂y) z (∂y / ∂z) x + (∂x / ∂z) y } = 0 atau
{(∂x / ∂y) z (∂y / ∂z) x (∂z / ∂x) y} = -1 ……………… (1.6) 

Persamaan I.6 dikenal sebagai dalil rantai atau aturan rantai atau “chine rule”. Dalam Termodinamika konsep diferensial total, diferensial parsial, diferensial eksak, dan diferensial tak eksak sangat diperlukan. Pemaknaan dari keempat bentuk diferensial ini sangat bergantung pada keaadaan sistem, koordinat sistem, atau variabel sistem termodinamis. Oleh karena itu, Mahasiswa harus faham benar mengenai pengertianpengertian dan pemaknaan diferensial dalam Termodinamika.
Sebagai teladan, perhatikan keadaan gas yang ada dalam bejana yang dilengkapi dengan pengisap (piston) seperti gambar I.1. berikut.

 

Gambar I.1 melukiskan keadaan gas yang ada dalam bejana dengan volume V, tekanan p, temperatur T, dan jumlah partikel N. Jika bejana tidak bocor, maka jumlah partikel gas (N) harganya selalu tetap. Besaran p, V, dan T saling berhubungan. Eksperimen menunjukkan, jika dua besaran menjadi variabel bebas, maka satu besaran lainnya menjadi variabel terikat. Hubungan ini dapat dinyatakan dalam bentuk implisit berikut.
GAS Gambar 1.1 : Gas dalam Bejana yang Dilengkapi dengan Piston
f (p, V, T) = 0 …………… (1.7) 

 Bentuk eksplisitnya ada tiga, yaitu:
(a). p = p (V, T). (b). V = V (p, T). (c). T = T (p, V). ………. (1.8) 

Bentuk diferensialnya ada tiga, yaitu persamaan 1.9. (a), (b), dan (c) berikut.
1.9. (a). dp = (∂p / ∂V) T dV + (∂p / ∂T) V dT
1.9. (b). dV = (∂V / ∂p) T dp + (∂V/ ∂T)p dT
1.9. (c). dT = (∂T / ∂p) V dp + (∂T / ∂V)p dV 

Makna fisis dari persamaan 1.9. (a) dapat dijelaskan sebagai berikut. (1).dp = perubahan total dari tekanan gas dalam bejana = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis + perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris. (2).dV= perubahan volume gas dan dT = perubahan temperatur gas. (3). (∂p / ∂V) T = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis. (4). (∂p / ∂T) V = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris. Makna fisis dari persamaan 1.9. (b) dan (c) dapat dijelaskan dengan cara yang sama. Indeks pada diferensial parsial menunjukkan prosesnya. Misalkan ada indeks p, maka perubahan parsial terjadi pada proses isobaris (proses tekanan tetap).